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Prédire les champs de contrainte, de déformation et de déformation dans les matériaux et les structures avec des réseaux de neurones de graphes
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Prédire les champs de contrainte, de déformation et de déformation dans les matériaux et les structures avec des réseaux de neurones de graphes

Nov 30, 2023

Rapports scientifiques volume 12, Numéro d'article : 21834 (2022) Citer cet article

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Développer des outils de calcul précis mais rapides pour simuler des phénomènes physiques complexes est un problème de longue date. Les progrès récents de l'apprentissage automatique ont révolutionné la façon dont les simulations sont abordées, passant d'un paradigme purement physique à un paradigme basé sur l'IA. Bien que des réalisations impressionnantes aient été atteintes, la prédiction efficace de phénomènes physiques complexes dans les matériaux et les structures reste un défi. Nous présentons ici un cadre général basé sur l'IA, implémenté via des réseaux de neurones de graphes, capable d'apprendre le comportement mécanique complexe des matériaux à partir de quelques centaines de données. Exploitant la cartographie naturelle maillage-graphe, notre modèle d'apprentissage en profondeur prédit les champs de déformation, de contrainte et de déformation dans divers systèmes de matériaux, tels que les composites fibreux et stratifiés, et les métamatériaux en treillis. Le modèle peut capturer des phénomènes non linéaires complexes, de la plasticité à l'instabilité de flambement, apprenant apparemment les relations physiques entre les champs physiques prédits. En raison de sa flexibilité, ce cadre basé sur des graphes vise à relier la microstructure des matériaux, les propriétés des matériaux de base et les conditions aux limites à une réponse physique, ouvrant de nouvelles voies vers la modélisation de substitution basée sur les graphes.

Dans la tentative toujours croissante de découvrir et de concevoir des matériaux et des structures mécaniques performants, les distributions de déformation, de contrainte et de déformation sont les informations essentielles à partir desquelles toute autre propriété ou fonction mécanique peut être déduite. Avec l'explosion récente des technologies de fabrication additive, des matériaux et des structures morphologiquement et physiquement sophistiqués avec des propriétés et des fonctions mécaniques supérieures, tels que les composites hiérarchiques1,2,3, les structures géométriquement imbriquées4,5,6 et les métamatériaux architecturés7,8,9,10, peuvent désormais être facilement fabriqués. En raison de leur complexité géométrique11 et de l'arrangement complexe de matériaux constitutifs aux propriétés mécaniques différentes12, la prédiction de la réponse physique de tels systèmes de matériaux avec des méthodes traditionnelles, telles que des modèles analytiques et des simulations numériques, devient facilement insoluble, en particulier lorsqu'un criblage rapide mais précis d'ensembles de données astronomiques doit être effectué pour la découverte et la conception de matériaux13. De plus, même les matériaux et structures traditionnellement manufacturables impliquant des caractéristiques hautement non linéaires, telles que l'hyperélasticité, la plasticité et l'instabilité post-flambement, nécessitent des simulations coûteuses en calcul, limitant la recherche et la découverte des matériaux14,15. Plus généralement, prédire les champs de déformation et de contrainte des systèmes matériels et structuraux est une tâche récurrente en science et ingénierie des matériaux et trouver une approche rapide mais précise est un problème ouvert et difficile. Motivées par les limites des modèles analytiques pour prédire efficacement le comportement physique des matériaux et des structures solides, les simulations informatiques basées sur la physique, en particulier la modélisation par éléments finis (FE), ont jusqu'à présent représenté le facteur clé pour résoudre des problèmes physiques complexes aux valeurs initiales et aux limites, impliquant souvent des équations aux dérivées partielles hautement non linéaires16. L'émergence et la croissance du domaine de l'apprentissage automatique (ML) au cours des dernières années ont cependant démontré la possibilité de surpasser les solveurs numériques traditionnels, accélérant considérablement les simulations de systèmes physiques17,18,19,20,21,22, de l'utilisation de réseaux de neurones informés par la physique pour extraire les champs de vitesse et de pression de la visualisation de flux23 à la conception inverse de matériaux architecturés aux propriétés élastiques extrêmes à l'aide de réseaux antagonistes génératifs24. Compte tenu de l'importance de la découverte et de la conception des matériaux, de la liaison de la microstructure et de la mésostructure des matériaux aux propriétés mécaniques (structure à propriété)25,26,27,28,29,30 et de la conception inverse (c'est-à-dire, étant donné les propriétés ciblées, recherche de conceptions optimales), les métamatériaux architecturés hautes performances10,13,24,31,32,33,34,35,36,37,38,39 ont récemment dominé la scène de la recherche. Dans les deux cas, les performances des matériaux sont essentiellement dictées par les champs mécaniques locaux, tels que les distributions de contraintes et de déformations, en raison de l'effet de la géométrie, du comportement des matériaux de base et des conditions aux limites. Profitant des réseaux de neurones convolutifs à base de pixels, les champs mécaniques ont été principalement étudiés sur des systèmes matériels et structuraux "numériques" (c'est-à-dire discrétisés sous forme de grilles)40,41,42,43,44,45,46, comme en47 où les champs de contraintes et de déformations étaient prédits sur des composites hiérarchiques numériques, ou en48 où des microstructures matérielles hétérogènes étaient considérées comme des images. L'une des méthodes numériques les plus populaires et les plus utilisées, telle que la modélisation EF, adopte des représentations en maillage au lieu de grilles régulières pour résoudre les équations aux dérivées partielles sous-jacentes. Avec l'extension intuitive des informations de maillage à la représentation graphique, les réseaux de neurones graphiques (GNN)49 héritent de tous les avantages de l'utilisation de domaines maillés. De plus, un cadre général ML efficace capable de lier non seulement la microstructure d'un matériau mais aussi les propriétés constitutives des matériaux (par exemple, dans un matériau composite) et les conditions aux limites à la réponse physique fait toujours défaut.

Inspirés par les développements récents sur les GNN pour les prédictions de champ physique50,51,52, nous proposons une méthode générale basée sur des géométries maillées pour prédire les champs de contrainte, de déformation et de déformation dans les systèmes matériels et structuraux. Les avantages de l'utilisation de GNN profonds au lieu de modèles basés sur l'image (tels que les réseaux de neurones convolutifs) sont potentiellement les suivants : (i) un maillage raffiné proche des concentrateurs de contraintes/déformations, comme les encoches (c'est-à-dire les défauts) et les discontinuités matérielles, et les surfaces lisses courbes, permet des prédictions locales plus précises avec moins d'augmentation des coûts de calcul ; (ii) les modèles à base de maillage non structuré permettent d'apprendre le comportement du système indépendamment de la résolution, ce qui signifie que différentes tailles de maillage peuvent être utilisées au moment de l'exécution ; (iii) Compte tenu de leur nature graphique, les métamatériaux architecturés en treillis peuvent être représentés plus efficacement par les GNN.

Ici, en exploitant la cartographie maillage-graphe, nous proposons une méthode générale ML basée sur les graphes pour prédire les formes déformées, les champs de contraintes et de déformations dans les systèmes matériels et structuraux. Pour démontrer la flexibilité et la généralité de l'approche proposée, nous nous concentrons sur trois systèmes de matériaux différents subissant différents phénomènes mécaniques complexes, à savoir la plasticité des composites à fibre unique, le plissement des interfaces de couche et l'instabilité de flambage des métamatériaux en treillis. Nous montrons que les GNN peuvent apprendre les conditions de chargement corrélant la forme déformée et le champ de contrainte ainsi que les relations physiques entre la structure du matériau et le champ de contrainte (déformation) et de déformation. Alors que les modèles ML basés sur l'image, tels que les réseaux de neurones convolutifs, les auto-encodeurs variationnels et les réseaux antagonistes génératifs, ont été largement utilisés pour prédire les champs physiques dans les composites hiérarchiques53, les structures perforées54, les microstructures fabriquées de manière additive avec des défauts45 et les microstructures hétérogènes42,48, les travaux actuels présentent un cadre ML plus flexible et général pour la prédiction des formes déformées, des champs de contrainte et de déformation avec les GNN.

Schémas du modèle ML proposé. Le matériau maillé ou le système structurel est d'abord mappé sur un graphique. Trois exemples de complexité variée sont présentés ici. Les caractéristiques des nœuds et des bords sont définies sur la structure du graphe, transportant des informations sur le système, telles que les positions des nœuds, le type de nœud (c'est-à-dire la phase du matériau de base) ou les déplacements sur des nœuds spécifiques. Ces caractéristiques sont d'abord encodées dans un espace latent plus grand. Ensuite, un module de transmission de messages traite les caractéristiques du graphe : chaque nœud acquiert des informations de ses nœuds voisins, apprenant les relations entre les différentes parties du système. Les quantités nodales transformées sont finalement décodées en champs physiques de sortie, ici des champs de déformation, de contrainte et de déformation (\(u_i\), \(\sigma _i\),\(\varepsilon _i\)). Fournissant des informations géométriques/topologiques (\({\textbf{g}}\)), le comportement des matériaux de base (\({\textbf{m}}\)) et les conditions aux limites (\(\mathbf {\text {BC }}\)), le modèle apprend les relations physiques avec les champs considérés. Une fois formé, le modèle ML peut prédire avec précision les champs physiques de divers systèmes matériels et structurels soumis à des phénomènes physiques complexes, tels que le plissement ou le flambage.

Les domaines de maillage utilisés dans la modélisation EF sont des collections d'éléments géométriques connectés (tels que des lignes, des triangles, des quadrilatères, des tétraèdres) définissant des solides, des surfaces ou des lignes. Le problème des valeurs limites est souvent défini par les quantités physiques d'intérêt (telles que le déplacement et la contrainte) à des emplacements spécifiques sur la frontière des éléments, à savoir les nœuds (généralement coïncidant avec les sommets). Considérant le maillage uniquement composé de nœuds connectés par des arêtes, nous identifions des domaines de maillage avec des graphes de calcul \(G=(V,E)\), où V représente un ensemble de N nœuds connectés entre eux par M arêtes (E). Le i-ème nœud (dans V) apporte n caractéristiques dans le vecteur \(v_i\) (telles que les coordonnées nodales et les propriétés du matériau de base) ; de même, l'arête (en E) reliant le i-ème et le j-ème nœud a un vecteur de caractéristiques m-dimensionnel \(e_{ij}\) (comme la distance entre les nœuds). Comme illustré à la Fig. 1, notre modèle aborde le problème de la prédiction des champs de déplacement (\(u_i\)), de contrainte (\(\sigma _i\)) et de déformation (\(\varepsilon _i\)) (aux nœuds du graphe) dans les systèmes matériels et structurels, tels que les éléments volumiques représentatifs (RVE) et les structures en treillis de taille finie. Compte tenu de la flexibilité de la représentation graphique, tous les facteurs qui déterminent la réponse mécanique du matériau, c'est-à-dire la géométrie/topologie (\({\textbf{g}}\)), le comportement des matériaux de base (\({\textbf{m}}\)) et les conditions aux limites (\(\mathbf {\text {BC }}\)), peuvent être encodés dans les caractéristiques des nœuds et des bords, et la connectivité graphique (comme indiqué ci-dessous pour trois systèmes de matériaux).

Les GNN sont une classe de réseaux de neurones profonds qui fonctionnent directement sur des données de graphe (c'est-à-dire des données non euclidiennes), au lieu de données vectorielles ou d'images55. Dans notre travail, nous développons un modèle ML encodeur-décodeur pour approximer la relation (f sur la Fig. 1) entre les caractéristiques et conditions matérielles et structurelles, et les champs physiques (déplacement, contrainte et déformation). Notre modèle se compose de trois composants, l'encodeur, le passage de message et le décodeur (Fig. 1). À partir de la représentation graphique du système matériel, l'encodeur encode les caractéristiques des nœuds et des arêtes dans un espace latent (de plus grande dimension d) en utilisant les réseaux de neurones \(\epsilon ^N\) et \(\epsilon ^E\) à chaque nœud et arête, respectivement. Ces caractéristiques codées sont traitées par le module Message Passing, qui agrège d'abord les informations du voisinage de chaque nœud (via le réseau de neurones \(M^E\)), puis met à jour l'état du nœud à l'aide du réseau de neurones \(U^N\) ; ces deux opérations représentent un passage de message. Après le passage du message L, les caractéristiques du nœud latent sont transformées par le réseau neuronal \(\delta ^N\) (c'est-à-dire le décodeur) en sorties de champ. Le modèle est entraîné en supervisant des grandeurs physiques nodales (c'est-à-dire \(u_i\), \(\sigma _i\), \(\varepsilon _i\)) obtenues par des simulations FE (vérité terrain). Dans l'ensemble, le modèle GNN prend un graphique représentant le système matériel en entrée et produit des champs physiques. Comme mesures pour évaluer les performances du modèle, nous utilisons la carte d'erreur, définie comme la différence nodale entre la vérité terrain et les prédictions, et l'erreur absolue moyenne, MAE. De plus, pour mesurer la capacité du modèle à prédire les propriétés des matériaux dérivés, nous utilisons l'erreur relative moyenne pour la réponse constitutive contrainte-déformation de l'ensemble du RVE (lorsque l'évolution du champ de contrainte est étudiée). Plus de détails sont fournis dans les méthodes et les matériaux supplémentaires.

Notre modèle ML entraîné peut prédire des phénomènes mécaniques complexes, tels que le plissement de fines couches interfaciales et l'instabilité de flambage des matériaux en treillis, en reliant la géométrie/topologie, les propriétés du matériau de base et les conditions de chargement aux champs de déformation, de contrainte et de déformation. En apprenant les relations physiques entre la déformation et les champs de contrainte (ou de déformation) à partir des données, le modèle prédit un comportement mécanique global réaliste même lorsque les informations d'entrée ne sont pas suffisantes pour capturer le phénomène local réel (par exemple, les modes propres ne sont pas fournis comme entrée pour les prédictions post-flambement). En effet, en tentant de minimiser la MAE globale, le comportement moyen est plus facilement capturé par le modèle en l'absence de données liées au phénomène physique considéré (la preuve suivante est fournie). Pour démontrer la puissance des GNN profonds pour apprendre et prédire la physique des phénomènes mécaniques complexes dans différentes classes de matériaux et de structures, dans les sections suivantes, nous rapportons trois problèmes différents résolus par notre modèle ML par ordre de complexité croissante.

Ici, nous nous concentrons sur les matériaux composites à fibres unidirectionnelles traditionnels soumis à une charge de traction uniaxiale à déformation simple. Pour simplifier la transmission des idées clés de notre méthode, une distribution de fibres périodiques en forme de grille est considérée en analysant un RVE à fibre unique (représentant la microstructure), comme indiqué sur les Fig. 2A, B. Deux matériaux constitutifs composent la microstructure du matériau, la phase dure (c'est-à-dire la fibre) et la phase molle (c'est-à-dire la matrice). La fibre a une élasticité linéaire, alors que la matrice a un comportement élasto-plastique (plasticité J2). Pour simuler une discontinuité de matériau à fort contraste, en termes de module d'Young, la phase dure est 10 fois plus rigide que la phase molle (voir Méthodes). Caractérisant pleinement la géométrie de la microstructure, la fraction volumique de la fibre, \(f_v\) est employée comme seul paramètre géométrique indépendant g ; pour chaque valeur de \(f_v\), il est associé un rayon de fibre unique (la figure 2A montre différentes microstructures). Échantillonnant linéairement \(f_v\) dans la plage de 0,05 à 0,5, un ensemble de données de 500 microstructures est généré, puis divisé en 90 \(\%\) de données d'apprentissage et 10 \(\%\) de données de test (analyse de sensibilité avec la densité des données d'apprentissage rapportée à la Fig. S12). En imposant des conditions aux limites périodiques (PBC) aux limites de chaque RVE (voir Méthodes), les champs de déplacement \(u_i=(u_i^1,u_i^2)\) et de contrainte \(\sigma _i= (\sigma _i^{11},\sigma _i^{22},\sigma _i^{33},\sigma _i^{12})\) obtenus à partir des simulations FE sont considérés comme la vérité terrain pour la sortie du modèle ML. Les informations géométriques d'entrée du modèle g de la microstructure sont codées dans la topologie du graphe (via la connectivité des nœuds) et les caractéristiques des nœuds et des bords. Plus précisément, les coordonnées nodales non déformées \(x_i\) et le type de nœud \(\xi _i\) (égal à 0 pour la matrice, 1 pour la fibre) sont codés dans les caractéristiques du nœud, \(v_i\). La distance relative entre le i-ième et le j-ième nœud \(x_{ij}=x_i-x_j\) dans la configuration non déformée et sa valeur absolue \(|x_{ij}|\) sont encodées dans les caractéristiques de bord, \(e_{ij}\).

Un RVE typique avec la courbe de contrainte-déformation macroscopique correspondante à partir de l'ensemble de données de test est illustré à la Fig. 2B. Pour démontrer la capacité du modèle ML à capturer le champ de déformation et de contrainte petit et fini dans les composites de fibres, dans la Fig. 2C-D, nous rapportons la comparaison entre les simulations FE (vérité terrain) et les prédictions du modèle pour deux valeurs de déformation appliquées macroscopiques, \({\overline{\varepsilon }}\)= 1 et 6 \(\%\) (modèle formé séparément). Une MAE moyenne de \(\sim\) 0,02 et 0,04 est obtenue sur les données d'essai (c'est-à-dire 50 microstructures) pour les régimes élastique et plastique, respectivement. La déformation de la microstructure est prédite avec précision par notre modèle ML, comme le montre la figure 2C pour le régime plastique. De manière analogue, les distributions des composantes de contrainte \(\sigma _{11},\sigma _{22},\sigma _{33}\) prédites par ML, illustrées à la Fig. 2D, ressemblent beaucoup aux simulations numériques pour les deux régimes de déformation. La précision des prédictions est en outre confirmée par la carte d'erreur, qui identifie en outre les petites régions locales avec des erreurs plus importantes (principalement proches de la limite fibre-matrice du gradient de contrainte et de déformation élevé, comme dans48), contribuant aux baisses de précision. Remarquablement, également des modèles de contrainte complexes, comme pour la contrainte de cisaillement, \(\sigma _{12}\), avec une faible amplitude (par rapport à la composante principale \(\sigma _{11}\)) sont capturés par nos prédictions, comme le montre la Fig. S2. Les comparaisons de déformation et de champ de contrainte pour d'autres RVE dans l'ensemble de données de test sont rapportées dans les Fig. S3 et S4. Alors que des distributions de contraintes souvent équivalentes, telles que la contrainte de von Mises, sont adoptées comme sortie unique45,48, notre modèle apprend non seulement l'ensemble du champ du tenseur de contrainte (c'est-à-dire plusieurs composants), mais également la forme déformée correspondante (Fig. 2C). En apprenant la mécanique des microstructures avec différents rayons de fibre (donc, la fraction volumique), le modèle proposé peut ainsi prédire avec précision la déformation petite et finie et le champ de contrainte dans les composites renforcés de fibres diluées et denses.

Prédiction de l'élasticité et de la plasticité dans les composites à fibres unidirectionnelles chargées transversalement. (A) Exemples de RVE de l'ensemble de données ayant une fraction volumique de fibre différente. (B) Un RVE typique (\(f_v\)=37,55 \(\%\)) soumis à une déformation de tension uniaxiale macroscopique (\({\overline{\varepsilon}}\)) avec la courbe contrainte-déformation macroscopique correspondante. Les symboles du graphique indiquent les petites (\({\overline{\varepsilon }}\)=1 \(\%\)) et les grandes (\({\overline{\varepsilon }}\)=6 \(\%\)) déformations, correspondant respectivement à l'élasticité linéaire et à la plasticité. (C) Comparaison du maillage déformé simulé par FE (c'est-à-dire la vérité terrain) et prédit par ML pour \({\overline{\varepsilon}}\)=6 \(\%\). (D) Comparaison des champs de contrainte prédits par ML et simulés par FE dans le RVE illustré en (B), choisis au hasard dans l'ensemble de données de test, pour les petites et grandes déformations, avec la carte d'erreur correspondante (c'est-à-dire la différence entre la prédiction et la vérité au sol). Les champs de contrainte sont tracés sur les formes déformées correspondantes (échelle relative exacte entre petites et grandes déformations), tandis que les cartes d'erreur sont affichées dans la configuration non déformée. Des résultats analogues pour le champ de contrainte de cisaillement (\(\sigma _{12}\)) sont rapportés dans les matériaux supplémentaires.

Dans les résultats antérieurs sur les microstructures composites de fibres, le modèle ML a été entraîné séparément pour différents niveaux de déformation macroscopique appliquée. Ici, nous étudions si notre modèle peut apprendre simultanément plusieurs étapes de chargement à différentes amplitudes, c'est-à-dire l'évolution de la déformation et du champ de contraintes. Pour démontrer la capacité du modèle à prédire de grandes déformations locales, nous considérons d'abord le même jeu de données précédent mais soumis à des conditions aux limites de déplacement (au lieu de PBC). De cette façon, exploitant la structure du graphique du maillage pour informer le modèle ML sur les conditions aux limites, un vecteur, \ (u_i ^ {\ mathbf {\ text {bc}}} = (u_i ^ {(1, \ mathbf {\ text {bc}}})}, 0) \) représentant le Node supplément bf {\ text {bc}} \) sur la figure 1). Pour réduire davantage le coût de calcul pour la génération de données de formation et la formation de modèles, un maillage plus grossier et une élasticité linéaire sont adoptés ici, et seulement 100 données au total sont prises en compte. Sans l'hypothèse de plasticité, les réponses macroscopiques contrainte-déformation sont linéaires (moins complexes) ; cela réduit donc la quantité de données d'apprentissage requises. Cinq étapes de chargement sont échantillonnées linéairement dans la plage de 1 à 8 \(\%\) de la déformation appliquée effective (rapport entre le déplacement appliqué et la taille de la RVE') pour chaque microstructure, en traitant la variable temporelle (c'est-à-dire les étapes de chargement) comme une paramétrisation de la distribution des données, c'est-à-dire une séquence de graphiques. De plus, pour rendre l'approche plus générale (pour de futures applications sur des problèmes dépendants du chemin), nous insérons deux couches récurrentes après le module de passage de message, interprétant les caractéristiques des nœuds latents comme des états cachés (Méthodes), finalement transformés en champs de sortie par le décodeur (Fig. 1). Un MAE moyen de \(\sim\) 0,07 est obtenu sur les données de test (moyenne sur toutes les microstructures et étapes) et une ressemblance remarquable entre les prédictions ML et les simulations FE est obtenue, comme le montrent la Fig. S5 et le film S1. Les grandes déformations transversales (à la direction de chargement) de la microstructure sont capturées par notre modèle, confirmant que les GNN peuvent prédire les déformations de surface lisses avec une précision proche de celle des solveurs EF haute fidélité.

De plus, pour tester la capacité du modèle à prédire les réponses physiques sur des déformations appliquées invisibles, cinq étapes de chargement supplémentaires sont échantillonnées dans la plage de déformation appliquée (1 à 8 %), avec un total de dix niveaux de déformation appliqués. Le modèle, formé uniquement sur cinq étapes, est testé contre les dix souches. Le résultat est affiché dans Movie S2, où la composante de contrainte \(\sigma _{11}\) est affichée ; une MAE moyenne de \(\sim\) 0,07 est obtenue, comme précédemment. Des résultats analogues, non présentés ici par souci de brièveté, sont valables en échantillonnant la plage de déformation par un nombre arbitraire d'étapes de chargement (nous avons testé jusqu'à 25) et en entraînant le modèle uniquement sur quelques-unes d'entre elles. Le modèle peut ainsi prédire avec précision les champs physiques sélectionnés sur différentes étapes de chargement parmi les cinq étapes d'entraînement (couvrant toute la plage de déformation appliquée). Cette approche peut être utile pour réduire la quantité de données d'entraînement requises pour la prédiction de l'évolution des champs. En effet, en entraînant le modèle sur quelques pas de temps, il serait capable de prédire l'évolution des champs également pour des niveaux de déformation invisibles entre les deux.

Pour démontrer davantage que notre modèle peut prédire avec précision les propriétés des matériaux dérivés à partir de champs de contraintes plus complexes, la plasticité de durcissement linéaire est introduite ici pour la matrice du composite avec les PBC (plus de détails dans les méthodes). Ces dernières sont représentées comme des caractéristiques de nœuds supplémentaires, \(\varepsilon _i^{\mathbf {\text {BC }}}\) étant la composante de déformation macroscopique appliquée (BC sur la Fig. 1). Le modèle est formé sur dix étapes de chargement et il est testé sur 25 niveaux de déformations dans la même plage (0–8 %). Dans la figure 3, les réponses contrainte-déformation prédites et simulées de deux RVE avec différentes fractions volumiques de fibres ainsi que les distributions d'erreurs relatives moyennes sur l'ensemble de données de test sont rapportées pour les deux composantes de contrainte macroscopique non nulles (moyenne sur la RVE). Bien que des valeurs MAE moyennes plus élevées (\(\sim\) 0,10) pour les champs physiques soient obtenues, les prédictions macroscopiques sont pratiquement impossibles à distinguer des réponses simulées, présentant des erreurs relatives maximales inférieures à 3,5 et 7,5 % pour les composants \(\sigma _{11}\) et \(\sigma _{33}\), respectivement (Fig. 3). De plus, sans entrer les informations de tension uniaxiale de déformation simple dans le modèle GNN, les contraintes macroscopiques prédites sont cohérentes avec une telle condition appliquée. En conséquence, le modèle prédit que les composantes de contrainte \(\sigma _{22}\) et \(\sigma _{12}\) sont nulles, avec une dispersion inférieure à 1 % du pic de la composante dominante, \(\sigma _{11}\).

Dans l'ensemble, les performances de nos modèles GNN sur les deux jeux de données, comprenant uniquement des phases élastiques avec des déformations plus importantes ou une plasticité de durcissement linéaire plus complexe, semblent prometteuses. Cependant, nous observons que les erreurs moyennes d'évolution du champ (\(\sim\) 0,07–0,10) sont plus élevées que celles des prédictions séparées (\(\sim\) 0,02–0,04), c'est-à-dire un modèle formé sur une souche macroscopique spécifique. Pour le cas élastique, seules 90 microstructures (rapport de données de test d'entraînement 90:10), chacune avec cinq étapes de chargement, sont utilisées comme données d'entraînement, ce qui donne un très petit ensemble de données, limitant ainsi la précision maximale. Pour le boîtier en plastique, 450 microstructures chacune avec dix étapes de chargement sont utilisées ; cependant, la complexité supplémentaire de la plasticité durcissante linéaire (caractérisant la matrice), introduit une physique dépendante du chemin, appelant à plus de données. Pour comprendre le compromis entre les performances prédictives et les coûts de formation, nous rapportons une analyse de sensibilité à la Fig. S12, montrant que non seulement le MAE moyen, mais également la dispersion diminuent avec des ensembles de données de formation plus importants. En raison des grands graphes impliqués (mappage maillage-graphe), les travaux futurs pourraient donc se concentrer sur les moyens de réduire la taille de ces graphes, offrant ainsi un moyen d'exploiter des ensembles de données d'apprentissage plus volumineux.

Réponse matérielle macroscopique dérivée de l'évolution du champ de contrainte prédite par GNN des composites à fibres unidirectionnelles. Courbes de contrainte-déformation dérivées des champs prédits par ML et simulés par FE pour \(f_v = 40,5\) % (A) et \(f_v = 5,8\) % (B). (C) Distributions d'erreurs relatives moyennes évaluées sur l'ensemble de données de test pour les deux composantes de stress macroscopiques non nulles. Les lettres dans (C) font référence aux erreurs relatives des composants de contrainte individuels non nuls des RVE correspondants dans (A) et (B). La déformation sur l'axe des x dans (A) et (B) est la déformation macroscopique appliquée (\({\overline{\varepsilon }}\)). Pour plus de détails sur la dérivation des courbes contrainte-déformation, voir Méthodes.

Bien que les champs de contrainte et de déformation dans les systèmes de matériaux avec une composition de matériau de base variable présentant un comportement complexe puissent raisonnablement être prédits par des modèles ML basés sur des pixels utilisant des images haute résolution45,47,48, prédire avec précision également des formes déformées complexes serait coûteux en calcul. Pour relever ce défi en utilisant notre modèle GNN, à titre d'exemple, nous nous concentrons ici sur la formation d'interfaces ridées (c'est-à-dire l'instabilité) dans les composites à couches souples56. Le composite stratifié (Fig. 4A) est composé de fines couches interfaciales dures d'épaisseur t, disposées périodiquement à distance d et noyées dans une matrice molle ; les deux phases ont une élasticité linéaire, avec le module de Young \(E_0\) et \(E_1\) pour la phase douce et dure, respectivement. En supposant un motif géométrique périodique, nous considérons un RVE de taille d (encadré de la Fig. 4A), soumis à une compression uniaxiale à déformation simple avec une déformation macroscopique appliquée \({\overline{\varepsilon}}\)= 9 \(\%\) sous PBC (voir Méthodes). Comme déjà connu, l'instabilité de la couche est régie par le rapport distance/épaisseur, d/t, le rapport des modules d'Young \(E_1\)/\(E_0\) et le coefficient de Poisson de la matrice \(\nu _0\)56. Pour vérifier si notre modèle peut apprendre une relation entre les propriétés des matériaux de base \(m=(E,\nu )\), et les champs de déplacement et de déformation \((u_i, \varepsilon _i)\), nous gardons le paramètre géométrique g = d/t constant (en évitant l'instabilité à ondes longues56), tout en faisant varier \(E_1\)/\(E_0\) et \(\nu _0\) entre 50–1000 et 0,01–0,49, respectivement. Échantillonnant linéairement 100 valeurs pour \(E_1\)/\(E_0\) et 5 valeurs pour \(\nu _0\), un ensemble de données de 500 configurations (c'est-à-dire des combinaisons totales) est ensuite construit et divisé en 90 \(\%\) de données d'apprentissage et 10 \(\%\) de données de test (analyse de sensibilité avec la densité des données d'apprentissage rapportée à la Fig. S12). Les informations sur les matériaux de base sont naturellement codées dans les caractéristiques des nœuds, en remplaçant le type de nœud précédemment utilisé \(\xi _i\) par m pour chaque nœud.

La couche interfaciale comprimée a tendance à se déformer en un motif ondulé lors de l'apparition de l'instabilité de flambage, comme le montre la figure 4B. Pour différentes propriétés de couche et de matrice, diverses formes déformées ondulées et amplitudes de champ de déformation sont présentées (voir Fig. S6). Ici, la tâche la plus difficile consiste à capturer les motifs ondulés complexes (c'est-à-dire l'amplitude et la longueur d'onde de la forme déformée) et les contours de déformation (c'est-à-dire la distribution spatiale et l'amplitude locale) lors du flambage de la couche interfaciale pour différentes propriétés du matériau de base. En effet, au fur et à mesure que le phénomène devient plus complexe et que des déformations plus importantes se produisent, le modèle ML a du mal à avoir des valeurs MAE basses similaires sur l'ensemble de données de test que celles de l'exemple précédent (composites à fibres). Néanmoins, une distribution non uniforme des valeurs MAE (à la fois pour l'ensemble de données d'entraînement et de test) est présentée (Fig. S7). La plupart des prédictions présentent un faible MAE, comme le montre la figure 4C, ressemblant étroitement aux modèles ondulés simulés par FE ainsi qu'aux distributions de déformation. La valeur MAE moyenne (sur l'ensemble de données de test) de \ (\ sim 0,22 \) peut s'expliquer par des décalages hautement localisés dans l'amplitude du champ de déformation dans quelques régions proches de l'interface (carte d'erreur sur la Fig. 4C) et dans la forme déformée ondulée pour certaines configurations de test (Figs. S7 – S8). Plus précisément, presque indépendamment de \(\nu _0\), la MAE des prédictions sur l'ensemble de données a tendance à être plus petite pour les microstructures avec \(E_1\)/\(E_0\) plus élevé, correspondant à des motifs ondulés de grande longueur d'onde et de grande amplitude (Fig. S7). Ces résultats suggèrent que la complexité plutôt que l'ampleur de la déformation limite la précision des prédictions. Malgré la prédiction du mauvais motif ondulé (c'est-à-dire la longueur d'onde) pour les faibles rapports de rigidité, le modèle ML formé a tendance à apprendre une relation entre la courbure de la couche interfaciale et la distribution des contraintes (Fig. S8). Pour chaque composante de déformation, des déformations positives et négatives sont associées à la concavité du motif ondulé (Fig. S8). En considérant par exemple les composants \(\varepsilon _{11}\) et \(\varepsilon _{22}\) sur la Fig. S8, bien que la longueur d'onde prédite ne corresponde pas à la vraie, les régions de traction et de compression dans la matrice composite sont qualitativement bien capturées en fonction de la concavité de la couche. Pour mieux évaluer nos prédictions, sur la figure 4D, nous comparons les interfaces maillées froissées simulées par FE et prédites par ML. Bien qu'il existe des écarts de la déformation prédite par rapport à la solution numérique lisse (encadré sur la figure 4D), les deux maillages se chevauchent globalement, ce qui indique que l'amplitude et la longueur d'onde de la forme post-bouclée de la couche sont prédites avec précision par le modèle ML. Cet exemple démontre que les GNN, qui permettent une augmentation de la résolution à proximité des régions où le phénomène local est censé se produire, peuvent capturer avec précision des phénomènes complexes localisés, uniquement dans un cadre supervisé purement basé sur les données. Pour les recherches futures, nous soutenons que la régularité de la solution prédite par ML pourrait être renforcée en introduisant des contraintes physiques dans le modèle GNN, en augmentant la précision et la généralisabilité. Pour déterminer si un modèle ML basé sur l'image peut résoudre ce problème de la même manière en utilisant le même ensemble de données, nous implémentons un U-Net (récemment adopté pour les matériaux hétérogènes avec des propriétés de matériau de base variables48) et rapportons les résultats sur la Fig. S9. Après plusieurs tests empiriques effectués en faisant varier le champ perceptif (augmentation de la taille du noyau, du pas de dilatation et de la profondeur du réseau), le modèle U-Net tend à prédire des champs de déformation uniformes (sur les trois composants) avec une MAE moyenne relativement faible de \(\sim\) 0,07 mais sans capturer aucune déformation locale. Ces résultats suggèrent qu'un cadre GNN peut non seulement prédire des phénomènes hautement localisés pour les composites avec des propriétés de matériau de base variables, mais également réduire le besoin de données d'apprentissage par rapport aux modèles ML basés sur l'image.

Prédire le plissement des couches interfaciales dans les composites stratifiés. (A) Schéma d'un composite stratifié composé de fines couches dures immergées dans une matrice molle. Les deux phases ont une élasticité linéaire. L'encart montre un RVE arbitraire de taille d, correspondant à la distance entre les couches, et l'épaisseur de la couche t. Ici, les propriétés matérielles des deux phases (E,\(\nu\)) sont modifiées au lieu des paramètres géométriques. (B) Interface ridée sous compression uniaxiale macroscopique (\({\overline{\varepsilon }}\)) avec la courbe contrainte-déformation macroscopique correspondante. Le symbole identifie le régime post-rides pour \({\overline{\varepsilon }}\)=9 \(\%\). Cette configuration est caractérisée par un rapport des modules d'Young \(E_1\) / \(E_0\)=741 et un coefficient de Poisson de la matrice \(\nu _0\)=0,13. (C) Comparaison des champs de déformation prédits par ML et simulés par FE dans la couche interfaciale illustrée en (B), échantillonnés au hasard à partir de l'ensemble de données de test, pour \({\overline{\varepsilon}}\)=9 \(\%\), avec les cartes d'erreur correspondantes. Les champs de contrainte sont tracés sur les formes déformées correspondantes, tandis que les cartes d'erreur sont affichées dans la configuration non déformée. La composante de déformation \(\varepsilon _{33}\) est globalement nulle en raison de l'hypothèse de déformation simple, et elle n'est donc pas rapportée ici. (D) Comparaison du maillage déformé prédit par ML et simulé par FE de la configuration en (B) pour \({\overline{\varepsilon}}=9 \%\).

Bien que les représentations d'images soient généralement efficaces pour représenter des systèmes de matériaux entièrement denses, tels que ceux analysés précédemment, elles ne le sont pas lorsqu'il s'agit de métamatériaux architecturés à faible fraction volumique, tels que les structures en treillis, dans lesquelles la phase solide est peu distribuée. Ces structures sont plutôt plus naturellement adaptées à la représentation graphique. À titre d'exemple, nous exploitons ici notre modèle GNN pour prédire le champ de déformation et de contrainte dans des structures en treillis de taille finie sous chargement de compression (Fig. 5A, B). Sur la base d'une procédure de génération ascendante présentée dans nos travaux précédents57, un ensemble de données de 762 structures est construit avec 2 \(\times\) 2 tessellations de cellules unitaires générées aléatoirement (matériaux supplémentaires) et divisé comme auparavant dans l'ensemble de données d'entraînement et de test (analyse de sensibilité avec la densité des données d'entraînement rapportée à la Fig. S12). Les structures en treillis sont composées de poutres hyperélastiques incompressibles avec un module de cisaillement initial \(\mu\) et une épaisseur uniforme t, et ont une fraction volumique constante \({\overline{\rho }}\). Formé séparément sur deux régimes de déformation différents, c'est-à-dire petites et grandes déformations, le modèle ML est caractérisé par différentes caractéristiques de nœuds et de bords, et par une sortie. Pour les petites déformations, seules les coordonnées nodales du maillage non déformé (10 éléments de poutre par poutre) sont codées dans les caractéristiques de nœud, et des caractéristiques de bord analogues comme précédemment sont adoptées ici ; la sortie est représentée par le champ de déplacement \(u_i\) et la contrainte axiale \(\sigma _i= \sigma _i^a\) le long des poutres. Pour les grandes déformations, en tenant compte du flambage local, les coordonnées critiques du mode propre, \(\tilde{x_i}\) sont en outre codées dans les entités de nœud, et les distances nœud à nœud correspondantes (\(\tilde{x_{ij}}\) et \(|\tilde{x_{ij}}|\)) sont incluses dans les entités de bord ; seul le champ de déplacement est fourni par le modèle. Plus de détails sont fournis dans les méthodes et les matériaux supplémentaires.

Pour démontrer que notre modèle ML peut apprendre le comportement en compression des structures en treillis non uniformes pour les petites et grandes déformations, sur la Fig. 5C, D, nous rapportons la distribution des contraintes simulée par FE et prédite par ML \(\sigma _i^a\) pour une petite déformation effective (\({\overline{\varepsilon }}=0,1 \%\)), et des formes déformées après le début de l'instabilité de flambement (\({\overline{\varepsilon } }=3 \%\)), pour trois architectures différentes échantillonnées au hasard à partir de l'ensemble de données de test (voir Fig. S10 pour les autres réseaux). En régime élastique, le champ de contraintes est globalement capté par notre modèle avec des valeurs MAE \(\sim 0.29\) (Fig. 5C). Transportant la majeure partie de la charge à travers les poutres alignées avec la direction de chargement, les structures en treillis sont principalement sollicitées le long de la direction horizontale (direction x). La prédiction de ce comportement suggère donc que le modèle ML apprend effectivement la mécanique de la structure sous chargement en compression. La carte d'erreur de la figure 5C confirme ces résultats, à l'exception de quelques régions localisées, principalement représentées par les jonctions du réseau, où les concentrations de contraintes ont tendance à être lissées par le modèle ML pour réduire la perte globale. Cette limitation n'impacte cependant pas la prédiction du comportement mécanique global de la structure sans tenir compte des mécanismes locaux de fissuration et d'endommagement, au-delà du cadre de cet exemple. Une fois atteint le déplacement critique appliqué, la structure flambe localement et localise la déformation transversalement à la direction de chargement (Fig. 5B). Le déplacement global (donc la rigidité) de la structure est capturé par le modèle ML, comme le montre la Fig. 5D. Malgré la déformation non linéaire hautement localisée, convergeant vers les valeurs MAE \(\sim 0,39\) sur l'ensemble de données de test, le modèle ML peut également prédire la forme déformée post-bouclée complexe avec une approximation satisfaisante (Fig. 5D). Le décalage entre les déformations locales des poutres prédites et simulées ainsi que la bonne approximation du déplacement global de la structure suggèrent que le modèle, essayant de minimiser l'erreur globale, reste bloqué dans un minimum local pendant l'entraînement. Nous nous attendons à ce que des ensembles de données de formation beaucoup plus grands et des contraintes physiques dans le modèle puissent réduire une telle inadéquation locale. Nous remarquons également que sans utiliser les informations critiques sur les modes propres en entrée, le modèle est susceptible de converger vers la configuration déformée non bouclée, tout en prédisant correctement le déplacement global (Fig. S11). Cette observation suggère que le modèle GNN a tendance à apprendre les relations physiques réelles entre les entrées et les sorties données (Fig. 1).

Prédire le comportement en compression des métamatériaux de réseau. (A) Structure en treillis représentative sous chargement de compression. (B) Courbe contrainte-déformation effective normalisée de la structure en (A) avec le champ de contrainte simulé FE normalisé (c'est-à-dire la contrainte axiale, \(\sigma ^a\), sur les poutres du réseau) pour les petites (\({\overline{\varepsilon }}=0,1 \%\)) et les grandes (\({\overline{\varepsilon}}=3 \%\)) déformations. (C) Comparaison du champ de contrainte prédit par ML et simulé par FE pour les petites déformations (\({\overline{\varepsilon}}=0,1 \%\)) dans trois géométries choisies au hasard dans l'ensemble de données de test, ainsi que la carte d'erreur correspondante. (D) ML prédit et FE simule des formes déformées post-bouclées pour \({\overline{\varepsilon }}\)=3 \(\%\). Le matériau de base a une élasticité non linéaire incompressible (hyperélasticité) avec un module de cisaillement initial \(\mu =14,5 \,\hbox {MPa}\).

Ici, nous avons proposé une approche ML basée sur le maillage pour la prédiction des champs de déformation, de contrainte et de déformation dans les systèmes matériels et structurels présentant des phénomènes physiques complexes à l'aide de GNN. Les réseaux de neurones sont formés sur quelques centaines de données de simulation tout en prédisant avec précision des phénomènes complexes, tels que le plissement des couches interfaciales et l'instabilité de flambage des métamatériaux architecturés, montrant ainsi une grande polyvalence et une large applicabilité. Exploitant la cartographie maillage-graphe naturelle et la puissance expressive des GNN, notre modèle apprend les relations physiques entre la géométrie et la topologie, les propriétés des matériaux constitutifs, les conditions aux limites et les champs mécaniques dans diverses classes de matériaux et de structures, des composites de fibres aux structures en treillis architecturées (Fig. 1). Avec l'objectif ambitieux de remplacer ou de compléter les simulations FE de systèmes mécaniques, le modèle proposé, une fois formé, réduit considérablement le temps de calcul de minutes, heures ou jours (typique pour les solveurs FE) à des fractions de seconde (voir Tableau S3). De plus, alors que le processus de formation représente le goulot d'étranglement informatique, une fois formés, les GNN peuvent prédire rapidement les champs mécaniques dans la classe spécifique de matériaux et de structures où ils ont été formés indépendamment de la complexité du problème.

Néanmoins, des limites liées à (1) la structure graphique des GNN, et (2) la configuration basée sur les données purement supervisée utilisée ici, existent. En ce qui concerne (1), les GNN demandent de la mémoire pendant l'entraînement ; par conséquent, à mesure que le nombre de nœuds dans le maillage augmente, la phase d'apprentissage devient de plus en plus coûteuse. De plus, un compromis entre le raffinement du maillage et les phénomènes de champ lointain apparaît : plus les champs locaux sont prédits avec précision via le raffinement du maillage, plus il faut d'étapes de passage de message (coût de calcul) pour capturer avec précision les phénomènes de champ lointain (c'est-à-dire, des informations spatialement éloignées du raffinement du maillage). En ce qui concerne (2), bien que notre modèle puisse prédire des phénomènes complexes avec une petite quantité de données d'entraînement (quelques centaines), il manque encore de généralisabilité (par exemple, prédire des conditions aux limites "invisibles") et la précision n'est toujours pas complètement comparable à celle des solveurs numériques haute fidélité. Pour les recherches futures, nous supposons qu'en contraignant la solution GNN aux lois de la physique, on peut grandement améliorer la précision22, au prix d'un temps d'apprentissage plus élevé. Bien que ces compromis ne soient pas négligeables, le cadre ML basé sur les graphes proposé représente une première étape vers des modèles de substitution plus puissants, particulièrement adaptés aux solides cellulaires, en tant que métamatériaux de treillis architecturés. Pour évaluer l'applicabilité du modèle, nous rapportons en outre à la Fig. S12 une analyse de sensibilité des performances du modèle avec la densité des données d'apprentissage. Pour les trois problèmes de mécanique, nous montrons que bien que la précision moyenne des prédictions de terrain n'augmente pas rapidement, la dispersion diminue considérablement avec la densité d'entraînement.

Comme preuve de concept, nous avons en outre démontré que notre approche peut être étendue à la prédiction des champs mécaniques dans les systèmes de matériaux sous plusieurs étapes de chargement (par exemple, pour différentes contraintes appliquées). La combinaison de GNN avec des réseaux de neurones récurrents dans un cadre de graphe dynamique55 pour prédire les champs physiques pour différentes excitations externes appliquées (telles que la déformation macroscopique dans les RVE) pourrait représenter un outil prometteur pour modéliser de manière exhaustive les phénomènes non linéaires et dépendants du chemin dans les matériaux, tels que l'élasticité et la plasticité non linéaires. Portant toutes les informations nécessaires, les champs physiques variables fourniraient la réponse macroscopique du matériau (par exemple, la courbe contrainte-déformation) comme le montre la figure 3, à partir de laquelle les propriétés du matériau, telles que la résistance et la ténacité, pourraient être facilement extraites. De plus, en raison de la flexibilité de la représentation graphique et de la puissance expressive des GNN, les conditions de chargement mixtes peuvent être facilement encodées dans le modèle via les nœuds ou les caractéristiques globales du graphique55 (par exemple, différentes composantes de déplacement appliquées aux nœuds frontières), et l'optimisation de la topologie peut être intégrée au modèle proposé pour résoudre les problèmes liés au lissé des courbes et des surfaces. Ce travail fournit non seulement une nouvelle méthode pour prédire des phénomènes physiques complexes à l'aide de modèles ML basés sur des graphes, mais ouvre également de nouvelles voies pour concevoir des matériaux avancés tels que des métamatériaux mécaniques ou fonctionnels en treillis.

Les ensembles de données sont générés par modélisation EF, à l'aide du logiciel commercial Abaqus/Standard (Dassault Systemes Simulia Corp., 2017), en considérant les champs de déplacement, de contrainte et de déformation comme la vérité terrain pour la comparaison avec les résultats ML. Toutes les simulations sont réalisées en 2D sous chargement statique. La procédure de pas de temps automatique (c'est-à-dire la taille d'incrément dans Abaqus) est adoptée, sauf pour les prédictions en plusieurs étapes (c'est-à-dire l'évolution des champs physiques) où un pas de temps fixe de 0,01 est défini ; le chargement statique est globalement divisé en 101 étapes. La déformation logarithmique (LE en Abaqus) est utilisée comme mesure de déformation pour les simulations impliquant de grandes déformations. Pour les composites fibreux et stratifiés, des éléments de déformation simple ("CPE4R" dans Abaqus) sont utilisés avec un maillage global de 0,03 et un maillage localement raffiné avec 40 éléments sur 10 (directions x et y sur la figure 4A) sur la couche interfaciale, respectivement. Des éléments de poutre Timoshenko (B22 en Abaqus) sont utilisés pour mailler les structures en treillis, avec une taille de maille globale de 10 éléments par poutre physique. Pour obtenir des résultats stables, une analyse de convergence est effectuée pour les trois systèmes de matériaux. Tous les calculs sont effectués sur un cœur de processeur Intel Xeon E3-1270, 3,60 GHz.

Le premier ensemble de données est composé de 500 RVE caractérisés par différentes fractions volumiques de fibres (c'est-à-dire le rayon de la fibre), échantillonnés linéairement dans la plage de 0,05 à 0,5. La forme du RVE est un carré dont la taille est fixée arbitrairement à 1 mm. En appliquant une contrainte de charge de traction macroscopique le long de la direction x (Fig. 2A) de 6 \(\%\) à chaque RVE soumis aux PBC, le déplacement nodal, \(u_i=(u_i^1,u_i^2)\) et la contrainte, \(\sigma _i= (\sigma _i^{11},\sigma _i^{22},\sigma _i^{33},\sigma Les champs _i^{12})\) à deux étapes de chargement (1 et 6 \(\%\) de déformation) sont collectés dans l'ensemble de données en tant que vérité terrain. La matrice est modélisée comme un solide élasto-plastique (J2-plasticité parfaite) avec un module de Young de 200 MPa, un coefficient de Poisson de 0,3 et une limite d'élasticité de 10 MPa. Représentant la phase dure, un modèle élastique linéaire est plutôt adopté pour la fibre, avec un module de Young de 2000 MPa et un coefficient de Poisson de 0,3. Pour les prédictions en plusieurs étapes, deux ensembles de données sont générés. Pour le premier, composé de 100 RVEs, des conditions aux limites de déplacement sont imposées (au lieu de PBCs) jusqu'à 8 \(\%\) de déformation effective (rapport entre le déplacement appliqué et la taille de RVE'). Un modèle élastique linéaire est adopté pour les deux phases avec les mêmes paramètres précédents. Pour le second, composé de 500 RVE, les PBC sont imposés jusqu'à 8 % de la contrainte macroscopique appliquée. Les mêmes propriétés du matériau de base précédent sont adoptées, à l'exception de la matrice qui est modélisée à l'aide d'une plasticité durcissante linéaire avec un module tangent \(E_y = E \, \text {/} \, 3\). Les courbes déformation-déformation macroscopiques illustrées à la Fig. 3 sont dérivées en faisant la moyenne du champ de contrainte local pour chaque valeur de déformation macroscopique appliquée. Vous trouverez plus de détails sur les PBC dans les documents supplémentaires.

L'ensemble de données comprend 500 combinaisons différentes de propriétés de matériaux de base. Les deux phases ont une réponse élastique linéaire. La phase douce (c'est-à-dire la matrice) a un module d'Young constant \(E_0=200 \,\text {MPa}\) et un coefficient de Poisson variable \(\nu _0\) compris entre 0,01 et 0,49. La phase dure (c'est-à-dire la couche interfaciale) a un module d'Young variable \(E_1\) dans la plage \(10^4\)–\(2 \times 10^5\,\hbox {MPa}\), et un coefficient de Poisson constant \(\nu _1=0,3\). En échantillonnant linéairement 100 valeurs pour \(E_1\) et 5 valeurs pour \(\nu _0\), 500 combinaisons sont obtenues. Pour limiter la génération de données, le paramètre géométrique \(g=d\)/t est fixé à 50, en supposant arbitrairement \(d=1 \,\text {mm}\). Nous simulons le comportement post-flambement non linéaire de la couche interfaciale (c'est-à-dire le plissement) en (1) effectuant une analyse des valeurs propres, (2) en appliquant le mode propre critique à la RVE en tant qu'imperfection, et (3) en effectuant une analyse statique non linéaire avec de grandes déformations. En appliquant une contrainte de chargement de compression macroscopique le long de la direction x (Fig. 2A) de 9 \(\%\) à chaque RVE soumis aux PBC, le déplacement nodal, \(u_i=(u_i^1,u_i^2)\) et la déformation, \(\varepsilon _i= (\varepsilon _i^{11},\varepsilon _i^{22},\varepsilon _i^{33 },\varepsilon _i^{12})\) sont collectés dans l'ensemble de données en tant que vérité terrain. Vous trouverez plus de détails sur les PBC et les plis dans les documents supplémentaires.

L'ensemble de données est composé de 762 mosaïques de taille finie \ (2 \ fois 2 \) de cellules unitaires générées aléatoirement (voir Matériel supplémentaire) avec une densité relative constante \ ({\ overline {\ rho }} = 20 \% \). Les poutres en treillis sont caractérisées par une section transversale rectangulaire avec une épaisseur dans le plan \(t= 0,14 \,\hbox {mm}\) et une profondeur \(H=10 \,\hbox {mm}\). Pour réduire les effets de bord, un cadre plus épais autour des structures est considéré avec \(t= 0.30 \,\hbox {mm}\). Un modèle de matériau néo-hookéen hyperélastique incompressible avec un module de cisaillement initial \(\mu =14,5 \,\text {MPa}\) est adopté pour modéliser les poutres du treillis. Un déplacement compressif uniaxial (le long de la direction x, Fig. 5A) est appliqué au bord droit, tout en contraignant le côté gauche. Pour tenir compte de l'instabilité de flambement, nous simulons le comportement post-flambement non linéaire des structures en (1) effectuant une analyse des valeurs propres, (2) en appliquant le mode propre critique à la structure en tant qu'imperfection, et (3) en effectuant une analyse statique non linéaire avec de grandes déformations et des non-linéarités matérielles. Les champs de déplacement nodal, \(u_i=(u_i^1,u_i^2)\) et de contrainte, \(\sigma _i= \sigma _i^a\) pour deux régimes de déformation, c'est-à-dire une déformation effective de 0,1 et 3 \(\%\) avant et après flambage, respectivement, sont ensuite collectés dans l'ensemble de données en tant que vérité terrain. Plus de détails sur la génération de cellules unitaires peuvent être trouvés dans les matériaux supplémentaires.

Le modèle ML est implémenté à l'aide de PyTorch Geometric58 dans le framework PyTorch59. Le modèle se compose d'un encodeur, d'un module de transmission de messages et d'un décodeur. La fonction d'encodeur encode les caractéristiques de nœud, \(v_i\) et de bord, \(e_{ij}\) dans un espace latent plus grand. Cette tâche est effectuée à l'aide de deux réseaux de neurones, \(\epsilon ^N\) et \(\epsilon ^E\) pour les entités de nœud et de bord, respectivement. Chaque caractéristique est entrée dans le réseau correspondant, composé de deux couches de largeur d (à savoir, la taille latente), chacune associée à une fonction d'activation non linéaire ReLU, et enfin suivie d'une couche LayerNorm, qui effectue une normalisation de couche élément par élément en utilisant la moyenne et l'écart type sur un mini-lot. Le graphe latent résultant est ensuite traité par le module de transmission de messages. Pour chaque nœud, les caractéristiques latentes des nœuds voisins et des bords sont transformées par le réseau de neurones, \(M^E\), et agrégées par sommation ; cela représente le message transmis par le voisinage d'un nœud. Le message ainsi que les caractéristiques de nœud précédentes (à savoir, l'état de nœud) sont ensuite mis à jour par le réseau neuronal, \(U^N\), générant un nouvel état de nœud. Avant l'agrégation, le message représente les nouvelles entités de tronçon. Les nouveaux états de nœud et caractéristiques de bord sont additionnés aux états précédents correspondants (c'est-à-dire la somme des résidus). Ce processus est répété L fois (c'est-à-dire les étapes de message). Les réseaux \(M^E\) et \(U^N\) ont la même architecture que les réseaux dans le codeur. Après L étapes de message, dans le décodeur, les états des nœuds latents sont transformés par le réseau neuronal, \(\delta ^N\), en sorties de champ. Pour les prédictions en plusieurs étapes, pour rendre l'approche plus générale, deux unités récurrentes fermées (GRU) sont insérées après le module de transmission de messages, interprétant les états de nœud latent comme des états cachés (voir Matériel supplémentaire). Les caractéristiques des nœuds et des bords de chaque échantillon du jeu de données sont normalisées à l'aide de la fonction StandardScaler dans la bibliothèque sklearn Python. De manière analogue, la vérité terrain (c'est-à-dire les champs physiques nodaux) est normalisée à l'aide de la moyenne et de l'écart type calculés sur les données d'apprentissage par une fonction interne ; les sorties du modèle ML sont ensuite dénormalisées pour l'évaluation et la visualisation des performances. Pour former notre modèle, nous utilisons l'erreur absolue moyenne, MAE, comme fonction de perte, et l'optimiseur d'Adam, fixant le taux d'apprentissage initial à 0,01 avec une décroissance exponentielle de \(\gamma =0,9\) à chaque époque. Pour réduire le surajustement, une technique de régularisation L2 avec une décroissance de poids de \(5 \times 10^{-4}\) est adoptée dans l'optimiseur Adam. De plus, pour réduire la consommation de mémoire, une technique de mini-batch est utilisée pendant la formation. Chaque ensemble de données est divisé en 90 \(\%\) de données d'entraînement et 10 \(\%\) de données de test. Dans le tableau S1, nous rapportons les valeurs spécifiques de la taille latente, des étapes de message, de la taille du lot et des époques de formation pour chaque ensemble de données. Par souci de clarté, dans le tableau S2, les caractéristiques des nœuds et des bords, ainsi que les champs de sortie pour chaque ensemble de données sont également signalés. Sans perte de généralité, l'optimisation de l'architecture des réseaux et l'analyse de la sensibilité des hyperparamètres ne sont pas effectuées ici, étant en dehors de l'objectif de ce travail. Toute la formation et l'inférence ML sont effectuées sur un GPU NVIDIA Quadro P2000, 5 Go (mémoire dédiée) ; un cœur de processeur Intel Xeon E3-1270, 3,60 GHz, est également utilisé pour l'inférence (prédictions sur des données invisibles) afin d'avoir une comparaison équitable avec les simulations FE. Plus de détails peuvent être trouvés dans les documents supplémentaires.

Les ensembles de données utilisés et/ou analysés au cours de la présente étude sont disponibles auprès de l'auteur correspondant sur demande raisonnable. Le code des modèles ML est disponible sur GitHub https://github.com/marcomau06/GNNs_fields_prediction.

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Département de génie mécanique et industriel, Université norvégienne des sciences et technologies (NTNU), 7491, Trondheim, Norvège

Marco Maurizi, Chao Gao et Filippo Berto

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MM a conçu l'idée, développé le modèle, effectué les simulations et organisé la formation et les tests d'apprentissage automatique. MM et CG ont analysé et interprété les résultats. MM a écrit le manuscrit. MM, CG et FB ont révisé le manuscrit. CG et FB ont supervisé les travaux.

Correspondance à Marco Maurizi.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Maurizi, M., Gao, C. & Berto, F. Prédire les champs de contrainte, de déformation et de déformation dans les matériaux et les structures avec des réseaux de neurones de graphes. Sci Rep 12, 21834 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-26424-3

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Reçu : 23 août 2022

Accepté : 14 décembre 2022

Publié: 17 décembre 2022

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-022-26424-3

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